Soluzione...

E' passata una settimana...ecco la soluzione!!!

Quando Achille si trova in Ao la tartaruga è in To. Achille corre per raggiungerla ed arriva in A1. La tartaruga nel frattempo si è spostata in T1, avendo percorso metà della distanza di Achille, ma restando sempre in vantaggio. Il processo si ripete, apparentemente fino all'infinito e sembra proprio che Achille non raggiunga mai la tartaruga. Svolgiamo però il calcolo delle distanze, cosi come dei tempi, supponendo che la velocità di Achille sia v =1 m/s e ricordando che la distanza AoA1 è di dieci metri. Achille percorre una distanza pari a Da = 10+5+2.5+... metri, in un tempo t = 10+5+2.5+... secondi. La tartaruga percorre una distanza Dt = 5+2.5+1.25+... metri in un tempo uguale. Si vede subito che si tratta di tre serie geometriche convergenti, p.es. Da = 10(1+1/2+1/4+...) = 10(1/(1-1/2)) = 10(2) = 20 metri. Dt è la metà di tale valore mentre il tempo impiegato è t = 10(1+1/2+1/4+...) = 10(1/(1-1/2)) = 10(2) = 20 secondi. Dunque dopo venti secondi, dopo aver percorso venti metri in tutto, Achille raggiunge la tartaruga e un attimo dopo la supera definitivamente. La vittoria dell'uno o dell'altra dipende da dove viene posto il traguardo. L'errore nel ragionamento è quello di ritenere che una somma di infiniti termini debba dare sempre un risultato infinito. Alla luce delle moderne conoscenze matematiche la soluzione è addirittura banale e si riduce ad un semplicissimo esercizio di cinematica.

Il paradosso di Achille e la Tartaruga

Vi sottopongo un indovinello...

Enunciamo il paradosso di Zenone, dando poi la soluzione. Achille piè veloce sfida alla corsa una lenta tartaruga, dicendole: - Scommettiamo che riesco a batterti nella corsa anche se ti dò dieci metri di vantaggio ? la tartaruga risponde: - Sai, io sono molto lenta, è il mio stile di vita, ma se mi dai dieci metri di vantaggio, non puoi battermi! - Sì che posso, io sono il doppio più veloce di te. - Anche se sei il doppio più veloce non potrai mai raggiungermi. Vedi, mentre tu percorri i dieci metri che io ho di vantaggio io mi sposto in avanti di cinque. Tu dovrai poi percorrere questi cinque metri, ma io mi sarò spostata in avanti di altri due metri e mezzo che tu dovrai recuperare. Ma mentre tu cercherai di raggiungermi facendo questi due metri e mezzo io mi sarò spostata di un altro metro e venticinque e così via fino all'infinito, così tu non potrai mai raggiungermi. Così dicendo la tartaruga tracciò sulla terra un diagramma che spiegava la situazione. Achille osservò a lungo il diagramma, ripetendo mentalmente più volte il percorso della gara, non riuscendo a capacitarsi di come fosse possibile che egli non riuscisse mai a raggiungere il più lento animale. D'altronde Achille poteva, ragionando in altro modo, sostenere di poter vincere la gara. Infatti quando Achille avesse percorso, diciamo, trenta metri, la Tartaruga ne avrebbe percorsi solo quindici; detratti i dieci metri di vantaggio iniziali, Achille si sarebbe ancora trovato in vantaggio di cinque metri. Il paradosso appassionò molto gli antichi, che non conoscevano la teoria delle serie e trovavano inspiegabile il ragionamento. Proviamo anche noi a riflettere su quel diagramma...

Buon divertimento!!!

Barzellette

Aritmetica
Un matematico, un biologo ed un fisico sono seduti ad un bar e osservano la porta della toilette. Inizialmente non c'è nessuno nella toilette, ed essi lo sanno.
Ad un certo punto tre persone entrano nella toilette. Dopo un po' ne escono cinque, senza che nessun altro sia entrato.
Il fisico dice: - Direi che il nostro conteggio non è stato abbastanza accurato.Il biologo fa: - Noi abbiamo contato bene, perciò si devono essere riprodotti nella toilette. Il matematico ribatte: - Siccome 3 - 5 = -2, basta che entrino ancora esattamente due persone, e la toilette sarà di nuovo vuota.

Persi nel profondo di una valle
Due uomini ed una donna volano felici su una mongolfiera. Ben presto, però, si perdono nel profondo di una valle.Uno dei tre dice: - Ho un'idea. Chiediamo aiuto da questa e l'eco trasporterà le nostre voci molto lontano, dove qualcuno potrebbe udirle.Così egli si sporge dall'abitacolo e urla: - Aiutooooo! Dove siamooooo?L'eco ripete la frase diverse volte.Dopo 15 minuti odono una eco lontana che dice:- Vi siete persi in una valleeeee!La donna dice: - Quello che ci ha risposto è un matematico di sicuro.Uno degli uomini, stupito, le chiede: - Come fai a saperlo?E lei risponde: - Per tre motivi: (1) ci ha messo un sacco di tempo per rispondere, (2) è stato assolutamente corretto, e (3) la sua risposta è assolutamente inutile.

Le galline
Perché le galline attraversano sempre la strada quando passa un'automobile?Pierre de Fermat: "Io lo so ma non ho abbastanza spazio qui, per dimostrarlo. "

Scelta logica
"Che cosa sceglierà un Logico: mezzo uovo o la beatitudine eterna nell'aldilà?""Mezzo uovo.""Perché?""Perché NIENTE è meglio della beatitudine eterna, e mezzo uovo è meglio di NIENTE. Quindi, per la proprietà transitiva..."

Mezza giornata in compagnia dei numeri...

Stamattina mi sono svegliata e…ho deciso di provare a vedere quante volte avrei incontrato i numeri nella mia mattinata.
Prima di tutto mi sono svegliata alle 8:45, ho fatto colazione con 125 ml di latte e 30 g di cereali, per un totale di 160 kcal. Dopo essermi lavata e vestita, alle 9:20 esco di casa per andare a prendere il pullman. Dopo circa 10 minuti alla fermata dell’autobus è arrivato il mio H649 che mi avrebbe portato a Molino Dorino. Il viaggio è durato circa 20 minuti. Arrivata a Molino ho preso la linea 1 della metropolitana. Dopo le mie solite 11 fermate sono arrivata a Cadorna e mi sono incamminata verso l’università: oggi mi aspettavano 1 ora di grammatica italiana e 2 ore di psicologia.
Ho camminato per circa 5 minuti e sono arrivata in S. Agnese. Sono salita al piano numero 1 dove, nel corridoio, mi aspettavano le mie 2 amiche Sara e Alessandra.
Finita l’ora di grammatica siamo andate insieme in Gemelli dove, nell’aula G125, ci aspettava la professoressa di psicologia. 1 ora e 45 minuti di lezione più tardi e…era ora di tornare a casa.
Ho fatto il percorso della mattina, ma al contrario, e una volta arrivata a Molino Dorino ho aspettato 15 minuti perché arrivasse il pullman.
Arrivata a casa alle 14 ho pranzato mentre guardavo su Canale 5 la mia soap dell’ora di pranzo: Centovetrine.
Un 30 minuti di relax e poi…mi metterò a studiare: oggi dovrei, con le ultime 50 pagine, finire di riassumere il libro di filosofia.
La mia mattina con i numeri è finita…ma quante volte che li ho incontrati!!!

La soluzione per la Sara...

In ultima analisi il problema e' quello di stabilire se sia maggiore (e elevato pigreco) oppure (pigreco elevato e). Spero che nessuno sia caduto nell'inganno di considerare 80 minuti meno di 1h e 20! Basta prendere una calcolatrice e si scopre la soluzione, ma il problema chiede di non farlo. Ovvero di dimostrare analiticamente, con carta e penna, la disuguaglianza giusta. Comunque prendiamo la nostra calcolatrice e scopriamo che (e elevato pigreco) > (pigreco elevato e), sia pure di poco. Dunque i tratti piu' veloci sono AB e CD. Resta il problema di dimostrarlo analiticamente. Innanzitutto scriviamo sinteticamente e^p in luogo di (e elevato pigreco) Vogliamo dimostrare che e^p > p^e Se cio' e' vero sara anche, passando ai logaritmi ln(e^p) > ln(p^e) che si traduce, per una proprieta' dei logaritmi, in p ln(e) > e ln(p) ln(e)/e > ln(p)/p studiamo ora la funzione ln(x)/x scopriamo facilmente (calcolo delle derivate, etc...) che ha un massimo in (e ; 1/e) da cui si deduce, poiche' certamente p > e, che ln(e)/e > ln(p)/p .